Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera e segunda derivada
PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c.
TEOREMA
Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue.
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c , f(c) ).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c ,f(c) ).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
SEGUNDA DERIVADA: se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f'(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c , y f'(c)= 0 debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f'(c)= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1.
TEOREMA
Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c) ).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c , f'(c) ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.
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